在之前的文章中，我們討論了噪聲幅度的概率密度函數(shù) (PDF) 使我們能夠提取一些寶貴的信息，例如噪聲分量的平均值和平均功率。雖然 PDF 允許我們估計噪聲的平均功率，但它沒有揭示噪聲功率在頻域中的分布情況。

在本文中，我們將首先研究常見噪聲源的一個重要特征：噪聲均方根 (RMS) 與峰峰值之間的關(guān)系。然后，我們將看到可以估計我們感興趣的噪聲源的頻譜。

高斯或正態(tài)分布

在本文的部分，我們從示例噪聲信號中提取了 100,000 個樣本，并使用它們創(chuàng)建了噪聲幅度分布的直方圖。對直方圖進行歸一化后，我們便可以估算出噪聲幅度 PDF。估計的 PDF 如圖 1 所示。

圖1

圖 1 中的分布實際上是對稱為高斯分布或正態(tài)分布的 PDF 的估計，它由以下等式給出：

pX(x)=1σ√2πexp(?(x?μ)22σ2)pX(x)=1σ2πexp(?(x?μ)22σ2)

公式 1

其中 σ 和 μ 分別是分布的標準差和均值。我們之前討論過噪聲幅度的 PDF 可用于估計噪聲信號的均值和方差。如果我們將圖 1 中的值代入均值和方差方程，我們將分別獲得大約 0 和 1 的均值和方差。讓我們比較估計的 PDF，它看起來像 σ 2 ≈ 1 和 μ≈ 0 的高斯分布，與方程 1 給出的正態(tài)分布的值（對于相同的均值和方差值）。如圖 2 所示。如您所見，σ=1 和 μ=0 的正態(tài)分布與我們估計的 PDF 非常匹配。

圖 2

有趣的是，許多常見的噪聲源（例如電阻器產(chǎn)生的噪聲）呈現(xiàn)高斯分布。 

噪聲 RMS 和峰峰值

既然我們知道許多噪聲源具有等式 1 給出的振幅分布，我們能否建立 PDF 特性與噪聲峰峰值之間的關(guān)系？還有一個更好的問題：我們?nèi)绾慰紤]隨機信號的峰峰值？圖2表明噪聲幅度大于4的概率很低；然而，這個概率并不是真的為零。 

對于隨機信號，我們只能定義一個峰峰值。如圖 3 所示，對于均值為 μ 且標準差為 σ 的高斯分布，大約 68.27% 的樣本在均值 (μ) 的一個標準差范圍內(nèi)。此外，95.45% 和 99.73% 的噪聲樣本分別在平均值的 2σ 和 3σ 范圍內(nèi)。

圖 3.圖片由Towards Data Science提供

根據(jù)以上信息，我們可以假設噪聲峰峰值等于分布標準差 (6σ) 的六倍。在這種情況下，我們可以預期大約 99.73% 的噪聲樣本在 μ-3σ 到 μ+3σ 的范圍內(nèi)。換句話說，對于大約 99.73% 的噪聲樣本，峰峰值不能超過 6σ。換句話說，概率為 0.9973，噪聲的峰峰值將小于 6σ。如果我們假設噪聲的平均值為零，則噪聲幅度將小于 3σ 的概率為 0.9973。

請務必注意，這只是定義噪聲峰峰值的一種方法。另一個常見定義將 6.6σ 視為噪聲峰峰值。根據(jù)此定義，大約 99.9% 的樣品會給出小于 6.6σ 的峰峰值。如果平均值為零，概率為 0.999，則噪聲樣本的振幅將小于或等于 3.3σ。

請注意，如果噪聲的平均值為零，則標準偏差將等于噪聲 RMS 值。在評估模擬元件的噪聲時，我們通常需要將峰峰值噪聲轉(zhuǎn)換為 RMS 值，反之亦然。為此，根據(jù)我們?nèi)绾味x峰峰值，我們可以使用以下兩個公式之一：\(6 \times V_{noise, rms}= V_{noise, pp} \: \: \:或 \: \: \:6.6 \times V_{noise, rms}= V_{noise, pp}\)。在為 A/D 轉(zhuǎn)換器選擇合適的參考電壓 IC 時，請參閱本文以獲取使用此信息的示例。$6\times V_{noise,\mathrm{rm}s=}{V}^{}{}_n{}_o{}_i{}_s{}_e{}_{,}{}_p{}_{?}{}_p\_{}_{}或\_6.6\times V_{noise,rms}=V_{noise,p?p}$

功率譜密度

雖然 PDF 允許我們估計噪聲的平均功率，但它并沒有揭示這個給定的噪聲功率在頻域中是如何分布的。為了更好地理解為什么信號的總平均功率沒有指定信號頻率內(nèi)容，請考慮以下兩個確定性信號：

$$s_1\left(t\right)=Asin(2\pi \times 1\times t)$$

$$s_2\left(t\right)=Asin(2\pi \times {10}^9\times t)$$

這兩個信號的平均功率相同，并且正比于\(\frac {A^2}{2}\)。但是，它們具有不同的頻率內(nèi)容。s 1 (t) 具有 1 Hz 的頻率分量，而 s 2 (t) 具有 1 GHz 的頻率分量！同樣，噪聲的平均功率并不能決定其頻率成分。PDF 顯示了樣本幅度的分布，但它沒有向我們提供有關(guān)噪聲樣本變化速度的任何信息。正如確定性信號一樣，噪聲樣本在時域中變化得越快，信號功率就越集中在更高的頻率上。 $\frac{{\mathrm{一個}}^2}{2}$

為了表征噪聲源的頻率成分，我們測量感興趣帶寬內(nèi)不同頻率的噪聲平均功率。例如，要找到 f 1處的噪聲平均功率，理論上我們可以將噪聲樣本應用于帶寬為 1 Hz 且中心頻率調(diào)諧到 f 1的理想帶通濾波器。這個理想的帶通濾波器將衰減其 1 Hz 帶寬之外的所有頻率分量。在帶通濾波器的輸出端測得的平均功率 (S X (f 1 )) 是噪聲源在 f 1時可能表現(xiàn)出的平均功率的估計值。這在圖 4 中進行了說明。

圖 4

我們可以對感興趣帶寬內(nèi)的其他頻率重復上述過程。這將為我們提供噪聲平均功率與頻率的關(guān)系，如圖 5 所示。

圖 5

這些測量指定了噪聲的頻率成分，通常稱為噪聲功率譜密度 (PSD)。由于我們使用 1-Hz 帶通濾波器來測量平均功率，因此 PSD 圖的值將以 V 2 /Hz 為單位。此外，制造商通常通過提供 PSD 的平方根來指定其產(chǎn)品噪聲性能。在這種情況下，單位將為 \(V/\sqrt{Hz}\)。注意提供的單位可以讓我們識別是否給出了噪聲功率或電壓密度與頻率的關(guān)系。$V/\sqrt{\mathrm{赫茲}\_}$

此外，噪聲有時以每根赫茲的安培數(shù) (\(A/\sqrt{Hz}\)) 為單位指定。在下一篇文章中，我們將看到 PSD 概念是一個強大的工具，它允許我們檢查噪聲源對系統(tǒng)輸出的影響。$A/\sqrt{\mathrm{赫茲}\_}$

結(jié)論

在本文中，我們首先研究了常見噪聲源的一個重要特征：噪聲 RMS 與峰峰值之間的關(guān)系。我們看到噪聲峰峰值大約是其 RMS 值的六倍。在評估模擬組件的噪聲性能時，這種關(guān)系變得尤為重要。然后，我們查看了噪聲 PSD 的定義，它使我們能夠估計噪聲頻譜。