1. 圖像處理
    空間域中的圖像處理是一個涉及像素操作技術(shù)的視覺豐富的研究領(lǐng)域。對圖像執(zhí)行不同的操作，將圖像簡單地視為二維數(shù)組。
    通常，所有這些基于矩陣的運算都是在較大矩陣（表示完整圖像）和較小矩陣（稱為 2D 內(nèi)核）之間執(zhí)行。內(nèi)核大小和相關(guān)值決定了它對所考慮的圖像產(chǎn)生的影響。
    例如，假設(shè)我們有一個矩陣 [0 1;-1 0] 并將其與圖像進行卷積，如圖 1(a) 所示；結(jié)果如圖 1(b) 所示。我們可以看到，卷積操作導致了圖中普遍存在的邊緣的確定。然而，獲得的結(jié)果是不完整的，因為我們還沒有完整的邊集。

    為了得到剩余的邊集，我們需要再次執(zhí)行卷積運算。但這次我們的內(nèi)核將是 [0 -1;1 0] 而不是 [0 1; -1 0]。由此產(chǎn)生的邊緣如圖 1(c) 所示。

    圖 1. (a) 原始圖像 (b) 圖像中的組邊緣 (c) 圖像中的第二組邊緣 (d) 原始圖像的邊緣。
    接下來，我們需要結(jié)合上述兩個操作的結(jié)果以獲得圖像中存在的所有邊緣（圖 1(d)）。提到的這對內(nèi)核被稱為 Roberts 內(nèi)核，對原始圖像執(zhí)行的整個操作稱為 Roberts 邊緣檢測。

    另一方面，如果內(nèi)核大小為 3×3，每個元素的值為 1/9，則其與圖像的卷積會使圖像變得平滑，如圖 2 所示。也就是說，生成的圖像在與原作的比較。該操作稱為平滑，內(nèi)核稱為平滑器。

    圖 2.平滑操作。
    在這兩個例子中，我們都看到了一個共同因素——“卷積”。除了這些示例之外，卷積還有更多的圖像處理應(yīng)用，并且被認為對于圖像處理操作很重要。
    2. 使用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)合成新的可定制模式
    考慮一個系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)（單位脈沖輸入的系統(tǒng)輸出）如圖 3(a) 所示。現(xiàn)在，假設(shè)我們希望該模式出現(xiàn)在t = 25時刻。
    為了實現(xiàn)這一點，我們需要一個在t = 25 時具有脈沖的輸入信號。系統(tǒng)輸入處存在脈沖（圖 3(b) 中所示的“個脈沖”）會導致出現(xiàn)系統(tǒng)在該特定時刻的脈沖響應(yīng)（如圖 3(c) 中的“脈沖響應(yīng)”所示）。
    如果我們希望脈沖響應(yīng)在縮放 1.8 倍后出現(xiàn)在t = 175 處，那么我們需要在輸入側(cè)將脈沖縮放至t = 175 時的相同量。

    更進一步，假設(shè)我們想在t = 275 時反轉(zhuǎn)它。那么我們需要在同一時刻有一個反轉(zhuǎn)的脈沖。相關(guān)波形分別由圖 3(b) 和 3(c) 的第二組脈沖和相關(guān)響應(yīng)示出。

    圖 3.使用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)定制所需的模式
    基于同樣的理由，我們可以猜測，如果我們希望得到一個間隔為t = ' a ' 單位的系統(tǒng)響應(yīng)序列，那么，我們只需通過脈沖序列激勵系統(tǒng)即可獲得它，該脈沖序列的間距也是“ a ”時間單位。
    不過，請注意脈沖間距。為了忠實地復制，必須確保樣本之間有足夠的間距，否則就會出現(xiàn)失真。
    例如，如果系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)跨越“ s ”個時間單位的持續(xù)時間，則輸入信號中的樣本之間的間隔必須大于或等于“ s ”個時間單位。低于此值的任何值都會導致樣本重疊，從而影響輸出。這可以在圖 3(c) 的部分（第三組）中觀察到，該部分顯示了當脈沖序列（在圖 3(b) 中顯示為第三組脈沖）以 30 倍的間隔間隔時輸出失真。瞬時，而脈沖響應(yīng)（圖 3(a) 中）本身跨越約 75 個時間單位。
    該圖表明，我們可以通過使用卷積來合成定制的輸出模式，只要它只需要重復系統(tǒng)以縮放或非縮放方式的響應(yīng)。
    3. 信號過濾
    讓我們看看數(shù)字域 FIR（有限脈沖響應(yīng)）濾波器的方程：

   

    其中y [ n ] 是輸入信號x [ n ] 通過系數(shù)為h [ n ]的濾波器獲得的輸出。
    這里，求和的范圍從 0 到N，因為我們的h [ n ] 信號本質(zhì)上是有限的。
    但是，請注意，即使我們將限制更改為超出此范圍，過濾器也不受影響。假設(shè)我們求從k = -2 到N + 5 （而不是 0 到N）的總和。即便如此，我們的產(chǎn)出仍然保持不變。這是因為當k = -2 到 0 以及N到N + 5 時， h [ n ]的值將為零，這意味著總和也將為零。

    概括這一點，我們甚至可以將 FIR 濾波器的方程寫為（只是為了方便）

  

    細看。你覺得這很熟悉嗎？您可能會將其視為數(shù)字卷積方程（如 部分中所述）。
    這是什么意思？濾波和卷積一樣嗎？答案是“是”——前提是我們的脈沖響應(yīng)函數(shù)與濾波器函數(shù)相同。
    即使我們考慮 IIR（無限脈沖響應(yīng)）濾波器，同樣的類比也適用。然而，有一個例外，這次我們需要將輸入信號和過去的輸出信號與其各自的系數(shù)進行卷積。
    簡而言之，卷積形成了信號過濾取得勝利的基礎(chǔ)（即使是在二維圖像的情況下）。
    4. 多項式乘法
    考慮這樣一種情況，我們想要將兩個多項式相乘，例如 (2 x 2 + 3 x – 1) 和 (3 x 3 – 2 x )。為實現(xiàn)這一結(jié)果而進行的工作如下所示
    (2 x 2 + 3 x – 1) × (3 x 3 – 2 x ) = 6 x 5 - 4 x 3 + 9 x 4 - 6 x 2 - 3 x 3 + 2 x
    = 6 x 5 + 9 x 4 - 7 x 3 - 6 x 2 + 2 x
    等式 1。
    現(xiàn)在，讓我們形成兩個數(shù)組，其元素是所提到的多項式的系數(shù)，然后對它們進行卷積。在此示例中，數(shù)組將為數(shù)組 1 = A 1 = {2, 3, -1} 和數(shù)組 2 = A 2 = {3, 0, -2, 0}。
    我們將使用乘加技術(shù)對它們進行卷積，如表 1 所示，您可以在  本系列文章的  部分中閱讀該技術(shù)。
    從表中可以看出，它們的卷積結(jié)果為{6,9,-7,-6,2,0}。以多項式形式表示，這相當于等式 1 中所示的內(nèi)容。
    表格1。
    結(jié)果表表明，當我們將兩個多項式相乘時，我們實際上是從數(shù)學角度對它們的系數(shù)進行卷積。這清楚地證明了卷積有助于我們執(zhí)行多項式的乘法。
    5. 音頻處理
    禮堂、電影院和其他類似的建筑嚴重依賴混響的概念， 因為它可以極大地提高聲音質(zhì)量。
    以數(shù)字方式模擬混響的過程在技術(shù)上稱為“卷積混響”。通過卷積混響，您可以將區(qū)域的已知脈沖響應(yīng)與所需聲音的脈沖響應(yīng)進行卷積，以模擬特定區(qū)域的混響效果。
    通過這樣的模擬，我們可以做一些很酷的事情：我們可以計算出禮堂的聲學效果對小提琴家演奏的影響，而無需親自到場。使用此技術(shù)的另一種方法是將兩種聲音（例如歌手的聲音與維納琴的聲音）合并，以產(chǎn)生新的聲音。
    6. 人工智能

    神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是人工智能的一個領(lǐng)域，它通過模仿人腦中的連接來設(shè)計電路。大腦內(nèi)神經(jīng)元之間的互連被建模為構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)的多層節(jié)點之間的互連。

    圖 4.一個簡單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
    圖 4 顯示了此類人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (ANN) 簡單的形式。該示例有一個隱藏層，它將輸入節(jié)點路由到輸出節(jié)點。節(jié)點顯示為圓形區(qū)域，而藍線表示互連。
    在這樣的網(wǎng)絡(luò)中，每個互連都與一個稱為權(quán)重的參數(shù)相關(guān)聯(lián)。這些權(quán)重表明特定節(jié)點對特定輸出的影響程度。一些神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還包含卷積——它們被稱為卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它們是圖像處理的強大工具。
    7. 合成地震儀
    地震學是地球物理學的一個分支，主要研究地震和其他穿過地球甚至其他行星的彈性波情況。地震波可以穿過地球的不同層，每個層都有自己的成分和反射率。將所有反射波相加即可得到凈反射波。所得圖表在技術(shù)上稱為“合成地震圖”。
    將特定地球?qū)拥姆瓷湎禂?shù)與輸入信號相乘，然后對所得波求和的行為可以通過卷積運算有效地建模。換句話說，我們可以說，地球的反射率序列可以被認為類似于地球的脈沖響應(yīng)，當與傳入的地震波卷積時可以呈現(xiàn)合成地震圖（石油勘探中的地震建模和模式識別） 。
    8. 光學
    當準直光穿過其中有狹縫的孔徑時，光會沿著不連續(xù)性發(fā)生衍射。這一行為導致在無窮遠處的平面上形成正弦函數(shù)，這被稱為穿過狹縫的光的衍射圖案。同樣，對于圓形孔徑，產(chǎn)生的衍射圖案將是寬邊函數(shù)（成像光譜儀簡介）。
    現(xiàn)在，假設(shè)我們有一個孔徑，它是這兩者（狹縫和圓形）的組合。我們能否在不實際重復該過程的情況下獲得這種復雜結(jié)構(gòu)的衍射圖案？我們可以。事實上，得到的圖案將是通過將 sinc 函數(shù)與 sombrero 函數(shù)進行卷積而獲得的圖案。
    這表明，當我們知道每種孔徑的衍射圖案時，可以通過對這些單獨的圖案進行卷積來獲得它們組合的衍射圖案。大多數(shù)線性系統(tǒng)都表現(xiàn)出類似的疊加行為，卷積可以幫助簡化。
    9. 概率論
    讓我們考慮這樣一種情況：我們有兩個獨立的隨機變量 X和Y，分別具有概率密度函數(shù) (pdf) f和g。如果我們希望計算它們之和的 pdf（即，如果我們需要X + Y的 pdf ），我們可以使用f和g 的卷積。
    繼續(xù)這個邏輯，我們可以計算任意數(shù)量的自變量之和的 pdf。這很重要，因為許多標準分布都具有簡單的卷積模式的特征，這意味著我們可以使用卷積找到它們的pdf。
    10.計算機斷層掃描
    斷層掃描是一種獲得物體特定平面視圖的技術(shù)。使從源產(chǎn)生的窄 X 射線束（或任何其他類似的穿透輻射）穿過所需的物體。然后，這些射線被通常放置在物體另一側(cè)的探測器收集。
    生成的圖像是源光線與物體成分的卷積，揭示了其內(nèi)部結(jié)構(gòu)。然而，所得圖像的質(zhì)量相對較低。
    現(xiàn)在考慮一種情況，其中源和檢測器組件沿著物體上的不同角度位置平移。此行為在同一預(yù)期平面上創(chuàng)建對象的多個視圖。接下來，這些視圖被CT重建算法作用，以獲得高質(zhì)量的圖像。
    當使用重建算法時，卷積就出現(xiàn)了。兩種廣泛使用的重建算法是 濾波反投影，它利用了卷積。