在數(shù)字信號(hào)處理 (DSP) 中，我們通常使用多速率概念來(lái)提高系統(tǒng)（例如A/D或D/A 轉(zhuǎn)換器）的效率。本文討論了多速率系統(tǒng)的主要構(gòu)建模塊之一——插值濾波器的有效實(shí)現(xiàn)。我們將在這里介紹的方法稱(chēng)為多相實(shí)現(xiàn)。
　在這里，我們將嘗試通過(guò)檢查時(shí)域中的特定示例來(lái)闡明多相插值濾波器的操作。
　插值法
　如圖 1 所示，插值的直接實(shí)現(xiàn)使用了 $$L$$ 倍的上采樣器，然后應(yīng)用歸一化截止頻率為\frac{\pi}{L} 的低通濾波器。您可以在我的文章《多速率 DSP 及其在 D/A 轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用》中閱讀有關(guān)插值濾波器的內(nèi)容 。

　

　圖 1.上采樣后接一個(gè)歸一化截止頻率為 L 的低通濾波器執(zhí)行插值。　
　上采樣器將 L-1 零值樣本放置在輸入 x(n)的相鄰樣本之間，并將采樣率增加 $$L$$ 倍。因此，圖 1 中的濾波器被放置在系統(tǒng)采樣率較高的部分。
　長(zhǎng)度為 N的有限脈沖響應(yīng)濾波器 (FIR) 放置在上采樣器之前，需要對(duì)x(n)$ 的每個(gè)樣本執(zhí)行 $$N 乘法和 N-1 加法。然而，圖 1 中的濾波器位于上采樣器之后，必須對(duì) x(n)的每個(gè)樣本執(zhí)行 $$LN$$ 乘法和 L(N-1) 加法。
　有什么辦法可以降低這個(gè)系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度嗎？
　為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們需要注意，雖然圖 1 中實(shí)現(xiàn) H(z)的濾波器以較高的采樣率計(jì)時(shí)，但每個(gè)L 樣本中都有 L-1 樣本H(z) 進(jìn)程的值為零。因此，對(duì)于 L=2，H(z) 的輸入樣本中至少 50% 為零值。當(dāng) $$L>2 時(shí)，該百分比將進(jìn)一步增加。
　考慮到濾波器系數(shù)乘以零值輸入會(huì)得到零值乘積，我們也許能夠降低圖 1 中系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜性。為了獲得更好的理解，讓我們研究一個(gè)簡(jiǎn)單的示例：插值，其中 $$L=2$$。
　L=2 插值
　假設(shè) L=2 和 H(z)是長(zhǎng)度為 6 的 FIR 濾波器，其差分方程如下：　
　y(n)=\sum_{k=0}^{5}b_{k}x(nk)$$
　公式1　
　假設(shè)輸入信號(hào)x(n)如圖 2 所示。

　

　圖 2.輸入序列 x(n)。
　
　上采樣兩倍后，我們得到 x_1(m)，如下圖 3 所示：

　

　圖 3.上采樣序列 x_1(m)。
　假設(shè)六抽頭 FIR 濾波器采用以下直接形式結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)：

　　

　圖 4. 六抽頭 FIR 濾波器的直接形式實(shí)現(xiàn)。
　有了這些假設(shè)，我們來(lái)檢查圖 1 中插值濾波器的直接實(shí)現(xiàn)。在時(shí)間索引 $$m=5$$ 時(shí)，F(xiàn)IR 濾波器將如圖 5 所示。
　

　

　圖 5.  m=5 處的 FIR 濾波器?！?br>　正如您所看到的，在 m=5處，F(xiàn)IR 濾波器的一半乘法具有零值輸入。與這些乘法相對(duì)應(yīng)的分支由虛線(xiàn)示出。您可以驗(yàn)證，對(duì)于奇數(shù)，這些乘法將始終為零，并且 $$y(m)$$ 將僅由系數(shù) $$b_1$$、$$b_3$$ 和 $$b_5$$ 確定。在下一個(gè)時(shí)間索引，即$$m=6$$，我們得到如下圖6：

　

　圖 6.  m=6 時(shí)的 FIR 濾波器。
　同樣，那些包含零值輸入的分支由虛線(xiàn)示出。圖 6 再次顯示，一半的乘法具有零值輸入。檢查圖 5 和圖 6，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于奇數(shù)時(shí)間索引，一半的系數(shù)，即b_1、b_3 和 b_5 決定了輸出值以及包含其他系數(shù)的乘積為零。對(duì)于偶數(shù)時(shí)間索引，系數(shù)，即b_0、b_2 和b_4 很重要，其余系數(shù)的乘積之和為零。
　讓我們?cè)谏喜蓸悠髦笫褂脙蓚€(gè)不同的濾波器：一個(gè)具有奇數(shù)系數(shù)，另一個(gè)具有偶數(shù)系數(shù)，并將這兩個(gè)濾波器的輸出相加得到 $$y(m)$$。結(jié)果如圖 7 所示。

　

　圖 7. 將濾波器的差分方程分解為兩組系數(shù)：奇數(shù)系數(shù)和偶數(shù)系數(shù)。　
　我們可以通過(guò)將方程 1 處理為　
　y(n)= \big ( b_0 x(n)+ b_2 x(n-2) + b_4 x(n-4) \big ) + \big ( b_1 x(n-1)+ b_3 x(n -3) + b_5 x(n-5) \big )
　等式2　
　然而，我們之前的討論表明了為什么我們對(duì)這種分解感興趣：在每個(gè)時(shí)間索引處，這兩個(gè)過(guò)濾器中只有一個(gè)可以產(chǎn)生非零輸出，另一個(gè)輸出為零。為了進(jìn)一步澄清，讓我們考慮圖 7 的下部路徑。我們知道該路徑的輸出僅對(duì)于偶數(shù)時(shí)間索引為非零。因此，我們只需要在濾波器輸出非零的偶數(shù)時(shí)間索引處簡(jiǎn)化上采樣器和 FIR2 的級(jí)聯(lián)。在下索引時(shí)，我們可以簡(jiǎn)單地將路徑的輸出連接到零。這將在本文的其余部分進(jìn)一步解釋。
　現(xiàn)在，讓我們檢查圖 7 中下部路徑后面的上采樣器，其中包含偶數(shù)系數(shù)。在此路徑中，我們首先對(duì)輸入 x(n)進(jìn)行上采樣以獲得 $$x_1(m)$$。通過(guò)此操作，如圖 2 和 3 所示，我們?cè)?$$x(n)$$ 的每?jī)蓚€(gè)連續(xù)樣本之間創(chuàng)建等于兩個(gè)時(shí)間單位的時(shí)間差。另一方面，圖 7 中的濾波器 FIR2 以“兩個(gè)時(shí)間單位”的倍數(shù)“查看”其輸入。例如，乘以 $$b_0$$ 獲取的是當(dāng)前樣本，而乘以 $$b_2$$ 和 $$b_4$$ 則分別接收具有兩個(gè)時(shí)間單位和四個(gè)時(shí)間單位距離的樣本。因此，當(dāng) FIR2 的輸出非零時(shí)，我們可以通過(guò)將 $$x(n)$$ 而不是 $$x_1(m)$$ 應(yīng)用于系數(shù) $$b_0$$ 來(lái)簡(jiǎn)單地找到輸出， $$b_2$$, 和$$b_4$$，前提是我們?cè)谶@些系數(shù)之間使用一個(gè)單位時(shí)間的延遲，即$$Z^{-1}$$。這種等效過(guò)濾如圖 8 所示。

　

　圖 8。原理圖相當(dāng)于圖 7 中上采樣器和 FIR2 的級(jí)聯(lián)?！?br>　圖8在濾波器之后還包括一個(gè)開(kāi)關(guān)，為什么我們需要這個(gè)開(kāi)關(guān)？請(qǐng)記住，圖 7 中的 FIR2 對(duì)于偶數(shù) $$m$$ 具有非零輸出。對(duì)于奇數(shù) $$m$$，在我們的示例中該過(guò)濾器的輸出將始終為零。這就是為什么我們需要強(qiáng)制圖 8 中的等效電路的輸出對(duì)于奇數(shù) m 為零。有趣的是，這個(gè)特定開(kāi)關(guān)的操作與上采樣器的操作完全相同，只有兩倍。因此，我們獲得了圖 9 中的終等效原理圖。

　

　圖 9.該原理圖相當(dāng)于圖 7 中上采樣器和 FIR2 的級(jí)聯(lián)。
　與圖 7 中的上采樣器和 FIR2 級(jí)聯(lián)相比，圖 9 的優(yōu)點(diǎn)是什么？在圖 7 中，我們?cè)谄鏀?shù)和偶數(shù)時(shí)間索引處評(píng)估 FIR2，盡管對(duì)于奇數(shù)時(shí)間索引，F(xiàn)IR2 的輸出始終為零。在圖 8 和圖 9 中，考慮了這一屬性，并且對(duì)于奇數(shù)時(shí)間索引，輸出直接連接到零。這樣，我們就避免了不必要的計(jì)算。換句話(huà)說(shuō)，圖 9 中的三抽頭 FIR 濾波器放置在上采樣器之前，因此，我們僅對(duì) x(n) 的每個(gè)輸入樣本執(zhí)行三次乘法和兩次加法。然而，圖 7 的下部路徑將乘法放在上采樣器之后，我們必須對(duì) $$x(n)$$ 的每個(gè)輸入樣本執(zhí)行六次乘法和四次加法。
　將圖7的下部路徑簡(jiǎn)化為圖9的框圖的過(guò)程實(shí)際上是稱(chēng)為第二高貴身份的身份的特定示例。該身份如圖 10 所示。

　

　圖 10.第二個(gè)高貴身份表明這兩個(gè)系統(tǒng)是等效的。圖片由數(shù)字信號(hào)處理提供?！?br>　考慮到我們之前的討論，您現(xiàn)在應(yīng)該能夠想象為什么我們被允許在 I 因子上采樣器之前引入一個(gè)可以用 ZI 表示的系統(tǒng)，即 H(ZI)，前提是對(duì)于新系統(tǒng), ZI 被 Zin 代替?zhèn)鬟f函數(shù)。事實(shí)上，上采樣器在 x(n) 的每?jī)蓚€(gè)連續(xù)樣本之間創(chuàng)建等于 I 個(gè)時(shí)間單位的時(shí)間差。然而，對(duì)于輸出非零的時(shí)間索引，系統(tǒng)函數(shù) H(ZI) 以“I 時(shí)間單位”的倍數(shù)“查看”其輸入。因此，我們可以以類(lèi)似于圖 7 中 FIR2 路徑所做的方式簡(jiǎn)化上采樣器和系統(tǒng)功能的級(jí)聯(lián)。要了解第二高貴身份的證明，請(qǐng)閱讀本書(shū)的第 11.5.2節(jié)。
　我們?nèi)绾魏?jiǎn)化圖7上方的路徑？我們可以得到系統(tǒng)函數(shù)FIR1為　
　H_{FIR1}(z)=b_{1}z^{-1}+b_{3}z^{-3}+b_{5}z^{-5}　
　要使用第二高貴恒等式，我們只需要用$$z^{-2}$$來(lái)表達(dá)這個(gè)函數(shù)。我們可以將系統(tǒng)函數(shù)重寫(xiě)為　
　H_{FIR1}(z)=\big ( b_{1}+b_{3}z^{-2}+b_{5}z^{-4} \big ) z^{-1} = P_ {1}(z^{2})z^{-1}　
　由于P_1(z^2)是用z^2 表示的，因此我們可以使用高貴恒等式將這部分傳遞函數(shù)移到上采樣器之前。在這種情況下，我們必須將P_1(z^2)中的z^2 替換為z。終系統(tǒng)如圖 11 所示。

　

　圖11.應(yīng)用第二個(gè)貴族身份后得到的終系統(tǒng)。　
　在該系統(tǒng)中，所有乘法都在上采樣操作之前執(zhí)行。因此，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算復(fù)雜度的顯著降低。圖 11 的示意圖稱(chēng)為插值濾波器的多相實(shí)現(xiàn)。
　現(xiàn)在，讓我們檢查一下上面示例的一般形式。在本例中，我們有一個(gè) M 因子上采樣器，后跟一個(gè)系統(tǒng)函數(shù) H(z)。
　插值器的多相分解和高效實(shí)現(xiàn)
　為了找到給定系統(tǒng) $$H(z)$$ 的 M 分量多相分解，我們需要將系統(tǒng)函數(shù)重寫(xiě)為　
　$$H(z)=\sum_{k=0}^{M-1}z^{-k} P_{k}(z^M)$$
　公式3　
　其中 $$P_k(z)$$ 稱(chēng)為 $$H(z)$$ 的多相分量，由下式給出　
　$$P_{k}(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h(nM+k)z^{-n}$$
　公式4　
　現(xiàn)在，如果 $$H(z)$$ 前面有一個(gè) M 因子上采樣器，我們可以將第二個(gè)高貴恒等式應(yīng)用于 $$P_k(z^M)$$ 組件并實(shí)現(xiàn)更高效的實(shí)現(xiàn)。
　例如，如果 H(z) 前面有一個(gè) 3 倍上采樣器，我們可以使用公式 2 的分解來(lái)獲得下面的圖 12。當(dāng) M=3 時(shí)，我們將得到圖 12?，F(xiàn)在，應(yīng)用第二個(gè)高貴恒等式，我們將得到圖 13。為了更熟悉公式 2 和 3，請(qǐng)嘗試使用這兩個(gè)公式直接從公式 1 中濾波器的系統(tǒng)函數(shù)獲得?！?br>　使用H(z) 的三分量多相分解來(lái)實(shí)現(xiàn)三因子上采樣器，然后是 $$H(z)$$。圖片由數(shù)字信號(hào)處理提供。