摘要：本文對(duì)比了在加性高斯白噪聲（AWGN）信道下經(jīng)BPSK調(diào)制后的數(shù)據(jù)不編碼與添加卷積編碼后接收到的信道輸出的誤碼性能，并通過(guò)對(duì)比對(duì)卷積碼性能進(jìn)行分析。采用MATLAB自編函數(shù)對(duì)卷積碼以及維特比譯碼進(jìn)行仿真，且對(duì)其性能進(jìn)行分析。由于卷積碼有性能floor,編碼增益隨信噪比降低而體現(xiàn)不明顯。

　　1.引言

　　卷積碼的編碼器是由一個(gè)有k位輸入、n位輸出，且具有m位移位寄存器構(gòu)成的有限狀態(tài)的有記憶系統(tǒng)，通常稱(chēng)它為時(shí)序網(wǎng)絡(luò)。編碼器的整體約束長(zhǎng)度為v,是所有k個(gè)移位寄存器的長(zhǎng)度之和。具有這樣的編碼器的卷積碼稱(chēng)作[n,k,v]卷積碼。對(duì)于一個(gè)（n,1,v）編碼器，約束長(zhǎng)度v等于存儲(chǔ)級(jí)數(shù)m.卷積碼是由k個(gè)信息比特編碼成n（n>k）比特的碼組，編碼出的n比特碼組值不僅與當(dāng)前碼字中的k個(gè)信息比特值有關(guān)，而且與其前面v個(gè)碼組中的v*k個(gè)信息比特值有關(guān)。

　　卷積碼有三種譯碼方式：序列譯碼、門(mén)限譯碼和概率譯碼。其中，概率譯碼根據(jù)似然譯碼原理在所有可能路徑中求取與接收路徑相似的一條路徑，具有的糾錯(cuò)性能，維特比譯碼是概率譯碼中極重要的一種方式。

　　序列譯碼和門(mén)限譯碼則不一定能找出與接收路徑相似的一條路徑。不同于維特比譯碼，門(mén)限譯碼與序列譯碼所需的計(jì)算量是可變的且對(duì)于給定信息分組的終判決僅僅基于（m+1）個(gè)接收分組，而不是基于整個(gè)接收序列。

　　與維特比譯碼所使用的對(duì)數(shù)似然量度不同，序列譯碼所使用的量度為Fano量度。在接收序列受擾嚴(yán)重的情況下，序列譯碼的計(jì)算量大于維特比譯碼所需的固定計(jì)算量，雖然序列譯碼要求的平均計(jì)算次數(shù)通常小于維特比譯碼。在采用并行處理的情況下，維特比譯碼的速度會(huì)優(yōu)于序列譯碼。在同樣碼率和存儲(chǔ)級(jí)數(shù)的條件下，門(mén)限譯碼的性能比維特比譯碼低大約3dB.

　　維特比譯碼的數(shù)據(jù)輸出方式有硬判決及軟判決兩種方式，本文選取生成多項(xiàng)式為561,753的（2,1,8）卷積碼對(duì)硬判決的性能進(jìn)行分析，并依據(jù)維特比譯碼的原理以及卷積碼的特性，對(duì)卷積碼編碼和維特比譯碼過(guò)程在加性高斯白噪聲（AWGN）信道下進(jìn)行仿真，并且根據(jù)仿真結(jié)果對(duì)維特比譯碼（硬判決）的結(jié)果進(jìn)行分析。由于卷積碼的生成可以看做一個(gè)馬爾科夫過(guò)程，因此，不同狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率對(duì)描述這個(gè)過(guò)程有極關(guān)鍵的作用。本文則基于MATLAB對(duì)不同狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行求解，從而更準(zhǔn)確地分析維特比譯碼的性能。仿真結(jié)果表明卷積碼抗突發(fā)錯(cuò)誤的能力不強(qiáng)，生成多項(xiàng)式為561,753的（2,1,8）卷積碼在信噪比大于1dB時(shí)，編碼增益體現(xiàn)明顯。在信噪比低于-1dB時(shí)，編碼增益得不到體現(xiàn)。

　　2.卷積碼編碼譯碼原理

　　卷積碼編碼通過(guò)輸入序列與生成多項(xiàng)式的每一行做卷積，每次輸入k比特，輸出n個(gè)比特。在卷積碼編碼器中，每（m+1）個(gè)比特構(gòu)成譯碼器中的一個(gè)狀態(tài)。假設(shè)在一個(gè)二進(jìn)制輸入的離散無(wú)記憶信道上，有一個(gè)長(zhǎng)度為k*L的信息序列u=（u0,u1,…，uL-1）被編碼成為長(zhǎng)為T(mén)=n（L+m）的碼字c=（c0,c1,…，cT-1），接收到的序列為r=（r0,r1,…，rT-1）。維特比譯碼使用對(duì)數(shù)量度來(lái)衡量幸存路徑所編成的碼字與接收序列的相似度，量度越大，說(shuō)明該幸存路徑是信息序列的概率越大。維特比譯碼選取那條量度的幸存路徑作為譯碼結(jié)果。

　　由于對(duì)離散無(wú)記憶信道：

　　其中P （ r l | v l ）是信道轉(zhuǎn)移概率；logP（r|v）稱(chēng)為和路徑v相關(guān)的量度，以M（r|v）表示；logP（rl|vl）稱(chēng)為分支量度。

　　維特比譯碼的原理則是找出一條路徑，使得該路徑的累積量度。在譯碼過(guò)程中，如果在某一節(jié)點(diǎn)上發(fā)現(xiàn)某路徑已不可能是需要找到的那條路徑，就將此路徑去掉，不保存在幸存路徑之中。然后再在剩下的幸存路徑中選擇譯碼路徑，直到輸入所有譯碼器序列。理論上，搜索路徑需要無(wú)限長(zhǎng)度，而實(shí)際應(yīng)用中考慮到試驗(yàn)因素搜索長(zhǎng)度有限，搜索長(zhǎng)度對(duì)譯碼性能有一定的影響，搜索路徑的長(zhǎng)度一般為約束長(zhǎng)度的四倍到五倍。維特比譯碼可以被總結(jié)成如下步驟：

　　步：在時(shí)間單元t=m開(kāi)始，計(jì)算進(jìn)入每一狀態(tài)的單個(gè)路徑的部分量度，并存儲(chǔ)每一狀態(tài)下的路徑（幸存的）及其量度。

　　第二步：t增加1.將進(jìn)入每一狀態(tài)的分支量度與前一時(shí)間單元有關(guān)的幸存路徑的量度相加，計(jì)算進(jìn)入該狀態(tài)的所有2k路徑的部分量度；對(duì)每一狀態(tài)，比較進(jìn)入該狀態(tài)的所有2k路徑的量度，選擇具有量度的路徑（幸存路徑），存儲(chǔ)該路徑及其量度，并刪除其他所有路徑。

　　第三步： 如果t < L + m , 重復(fù)步驟二；否則停止。

　　維特比譯碼性能分析：

　　假設(shè)一個(gè)二進(jìn)制序列經(jīng)BPSK調(diào)制后通過(guò)加性高斯白噪聲（AWGN）信道后的誤比特率為e,因?yàn)楸疚牟捎玫纳啥囗?xiàng)式為561,753的（2,1,8）卷積碼編碼器，則有9*2=18個(gè)比特與當(dāng)前輸出比特相關(guān)。由于該卷積碼的自由距為12,因此如果一個(gè)比特出現(xiàn)譯碼錯(cuò)誤，則留下的幸存路徑（也即似然路徑）經(jīng)編碼后的序列會(huì)與正確路徑的序列相差1 2比特，并且會(huì)對(duì)其后18個(gè)比特產(chǎn)生影響。

　　所以，維特比譯碼抗突發(fā)錯(cuò)誤能力不強(qiáng)，而實(shí)際應(yīng)用時(shí)往往在卷積編碼后加入交織編碼，使突發(fā)錯(cuò)誤離散化。因?yàn)榫矸e碼的馬爾科夫性，可以推測(cè)出：當(dāng)不編碼時(shí)，若誤比特率足夠高，則編碼后序列的誤比特率會(huì)比不編碼更高。而仿真結(jié)果表明，當(dāng)未編碼序列的誤比特率達(dá)到8*10-2,隨著未編碼序列的誤比特率升高，編碼后序列的誤比特率會(huì)迅速升高。而在當(dāng)未編碼序列的誤比特率小于5*10-2時(shí)，編碼后序列的誤比特率升高得較為緩慢且編碼增益得到明顯體現(xiàn)。

　　3.卷積碼編碼及維特比譯碼仿真

　　自編函數(shù)對(duì)維特比譯碼仿真：

　　本文應(yīng)用MATLAB對(duì)卷積碼編碼器以及維特比譯碼器進(jìn)行仿真。由于卷積碼的馬爾科夫性，轉(zhuǎn)移概率是其中一個(gè)重要特性。顯然，如果其中一個(gè)比特譯碼錯(cuò)誤，后面N個(gè)比特的誤比特率都會(huì)因此受到影響，所以需要求出一步轉(zhuǎn)移概率、兩步轉(zhuǎn)移概率…N步轉(zhuǎn)移概率。由于本文采用的是（2,1,8）卷積碼，N=8.

　　基于MATLAB首先編寫(xiě)出模擬卷積碼編碼和維特比譯碼的函數(shù)，再分類(lèi)討論。在一定誤比特率情況下，當(dāng)影響第L個(gè)比特譯碼的2*9個(gè)比特中錯(cuò)n（n=1,2,3…，18）個(gè)時(shí)，求得第（L+N）比特譯碼錯(cuò)誤的轉(zhuǎn)移概率。假設(shè)BPSK調(diào)制的誤碼率為e;在影響第L比特譯碼結(jié)果的18個(gè)比特中有n個(gè)誤比特時(shí)，假設(shè)第（L+h）個(gè)比特經(jīng)譯碼后的誤比特率為P （h） n .

　　由于加性高斯白噪聲信道是非記憶信道，則譯碼后序列的誤比特率近似等于：

　　其中Pr（n）是18個(gè)比特中有n比特錯(cuò)的概率，當(dāng)誤比特率為e, ,N=18.

　　創(chuàng)建m文件，函數(shù)有三個(gè)輸入：生成多項(xiàng)式G、接收到的信道輸出誤比特率BER、影響第x比特譯碼結(jié)果的18比特中的誤比特?cái)?shù)n,輸出則是P （h） n .這里h的值為1~8.對(duì)于信道輸出序列的誤碼率為0.1時(shí)進(jìn)行分析，基于MATLAB仿真得到的所有P （h） n 如圖1所示。

　　由圖1中的結(jié)果可以算出當(dāng)接收到的信道輸出序列的誤碼率為0.1時(shí)，經(jīng)維特比譯碼后的誤比特率約為0.1071.

　　而且，當(dāng)信道輸出中連續(xù)1 8比特的誤比特?cái)?shù)大于3 時(shí)， 第（ x + h ） 個(gè)比特的誤比特率遠(yuǎn)高于平均誤比特率，這表明維特比譯碼抗突發(fā)錯(cuò)誤能力低下。

　　以n=4為例，根據(jù)圖1中數(shù)據(jù)可得出當(dāng)h=1,2,…，8時(shí)，第（x+h）個(gè)比特的平均誤比特率為0 . 3 9 2 2.當(dāng)n的值比較小時(shí)（ n < 4 ），可以得到以下結(jié)論，當(dāng)h=1,2,…，8時(shí)，第（x+h）個(gè)比特的誤比特率隨h增加而增大。由于卷積碼的特性，第L個(gè)比特的譯碼結(jié)果可直接影響第（x+j）個(gè)比特（j=1,2,…，7）的譯碼結(jié)果，而第（x+j）個(gè)比特的譯碼結(jié)果又會(huì)直接影響第（x+h）個(gè)比特（h=1,2,…，8）的譯碼結(jié)果。因?yàn)檫@種迭代關(guān)系，第（x+h）個(gè)比特的誤碼率會(huì)隨h增大而增大，從而造成卷積碼抗突發(fā)錯(cuò)誤性能低下。并且，在信道輸出的誤碼率較大時(shí)，碼字速率已經(jīng)大于信道容量，此時(shí)采用編碼不可能進(jìn)行可靠通信。

　　仿真結(jié)果表明：當(dāng)信噪比等于-1dB時(shí)，一個(gè)序列通過(guò)加性高斯白噪聲信道后接收到的信道輸出誤比特率大于10-1,且該序列運(yùn)用[2,1,8]卷積碼編碼，維特比譯碼（硬判決）后所得的序列誤比特率升高。當(dāng)信噪比為2dB時(shí)，一個(gè)序列通過(guò)加性高斯白噪聲信道后接收到的信道輸出誤比特率約為4*10-2,且該序列運(yùn)用[2,1,8]卷積碼編碼，維特比譯碼后所得的序列誤比特率小于10-3,誤碼率遠(yuǎn)低于不編碼時(shí)的誤碼率。因此卷積碼適用于信道輸出誤碼率比較低時(shí)候。

　　4.結(jié)論

　　本文基于MATLAB對(duì)卷積碼編碼和維特比譯碼進(jìn)行仿真，比較了未編碼序列的誤比特率和編碼后序列的誤比特率。依據(jù)卷積碼的馬爾科夫性，利用MATLAB仿真，對(duì)其轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行了求解，并通過(guò)轉(zhuǎn)移概率得出了維特比譯碼的性能以及卷積碼抗突發(fā)錯(cuò)誤能力不高的結(jié)論。當(dāng)信噪比為-1dB時(shí)，生成多項(xiàng)式為561,753的（2,1,8）卷積碼的誤碼率約為1.27*10-1,而不編碼的BPSK的誤碼率約為1.04*10-1,編碼后誤碼率反而高于不編碼。在信道條件較好時(shí)，卷積碼的編碼增益體現(xiàn)明顯，當(dāng)信噪比為2dB,生成多項(xiàng)式為561,753的（2,1,8）卷積碼的誤碼率約為8*10-4,而不編碼的BPSK的誤碼率約為4.64*10-2,編碼后誤碼率明顯降低。（作者：張嘉男，陶小魚(yú)）