1.圖像處理

空間域中的圖像處理是處理像素操作技術(shù)的視覺豐富的研究領域。對圖像執(zhí)行不同的操作，這些圖像被簡單地視為二維數(shù)組。

通常，所有這些基于矩陣的操作都在較大矩陣（代表完整圖像）和較小矩陣（稱為 2D 內(nèi)核）之間執(zhí)行。內(nèi)核大小和相關值決定了它對所考慮圖像的影響。

例如，假設我們有一個矩陣 [0 1;-1 0] 并將其與圖像進行卷積，如圖 1(a) 所示；結(jié)果將如圖 1(b) 所示。我們可以看到卷積操作導致了圖中普遍存在的邊緣的確定。然而，得到的結(jié)果是不完整的，因為我們還沒有完整的邊集。

為了得到剩余的邊集，我們需要再進行卷積運算。但是這次我們的內(nèi)核將是 [0 -1;1 0] 而不是 [0 1; -1 0]。由此產(chǎn)生的邊緣如圖 1(c) 所示。

圖 1. (a) 原始圖像 (b) 圖像中的組邊緣 (c) 圖像中的第二組邊緣 (d) 原始圖像的邊緣。

在此之后，我們需要結(jié)合上述兩個操作的結(jié)果以獲得圖像中存在的所有邊緣（圖 1(d)）。提到的這對內(nèi)核被命名為羅伯茨內(nèi)核，對原始圖像執(zhí)行的整個操作被稱為羅伯茨邊緣檢測。

另一方面，如果內(nèi)核大小為 3×3，每個元素的值為 1/9，則其與圖像的卷積會使圖像平滑，如圖 2 所示。也就是說，生成的圖像在與原來的比較。該操作稱為平滑，內(nèi)核稱為平滑器。

圖 2.平滑操作。

在這里的任何一個例子中，我們都看到了一個共同的因素——“卷積”。卷積在這些例子之外還有更多的圖像處理應用，被認為對圖像處理操作很重要。

2. 利用系統(tǒng)的脈沖響應合成新的可定制模式

考慮一個系統(tǒng)，其脈沖響應（單位脈沖輸入的系統(tǒng)輸出）如圖 3(a) 所示?，F(xiàn)在，假設我們希望此模式出現(xiàn)在時刻t = 25。

為了實現(xiàn)這一點，我們需要一個在t = 25 時具有脈沖的輸入信號。系統(tǒng)輸入端存在脈沖（圖 3(b) 中所示的“脈沖”）導致出現(xiàn)系統(tǒng)在該特定時刻的脈沖響應（在圖 3(c) 中顯示為“脈沖響應”）。

如果我們希望我們的脈沖響應在按 1.8 倍縮放后出現(xiàn)在t = 175，那么我們需要在輸入端按相同數(shù)量縮放的脈沖響應出現(xiàn)在t = 175。

更進一步，假設我們想在t = 275 時反轉(zhuǎn)它。那么我們需要在同一時刻有一個反轉(zhuǎn)的脈沖。相關波形分別由圖 3(b) 和 3(c) 的第二組脈沖和相關響應顯示。

圖 3.使用系統(tǒng)的脈沖響應定制所需的模式

基于同樣的理由，我們可以猜測，如果我們希望擁有一個間隔為t = ' a ' 單位的系統(tǒng)響應序列，那么，我們可以通過用脈沖序列激勵系統(tǒng)來獲得它間距也是' a '時間單位。

但是，請注意脈沖間間距。為了忠實復制，必須確保樣本之間有足夠的間距，否則會出現(xiàn)失真。

例如，如果系統(tǒng)的脈沖響應跨越 ' s ' 個時間單位的持續(xù)時間，則輸入信號中樣本之間的間隔必須大于或等于 ' s' 個時間單位。低于此值的任何值都會導致樣本重疊，從而影響輸出。這可以在圖 3(c) 的一部分（第三組）中觀察到，它顯示了失真的輸出，因為脈沖序列（在圖 3(b) 中顯示為第三組脈沖）以 30 倍的間隔間隔開瞬間，而脈沖響應（在圖 3(a) 中）本身跨越大約 75 個時間單位。

該圖表明我們可以通過使用卷積來合成定制的輸出模式，前提是它只需要重復系統(tǒng)以縮放或未縮放的方式響應。

3. 信號過濾

讓我們看看數(shù)字域 FIR（有限脈沖響應）濾波器的方程式：

y[n]=N∑k=0h[k]x[nk]y[n]=∑k=0Nh[k]x[nk]

其中y [ n ] 是將輸入信號x [ n ] 通過系數(shù)為h [ n ]的濾波器獲得的輸出。

這里，求和的范圍從 0 到N，因為我們的h [ n ] 信號本質(zhì)上是有限的。

但是請注意，即使我們將限制更改為超出此范圍，過濾器也不會受到影響。假設我們從k = -2 到N + 5 （而不是 0 到N）求和。即便如此，我們的輸出仍然保持不變。這是因為h [ n ]的值對于k = -2 到 0 和N到N + 5 將為零，這意味著總和也將為零。

推廣這一點，我們甚至可以將 FIR 濾波器的方程式寫成（只是為了方便）

$$y\left[n\right]=\sum _{k=?\infty }^{\infty }h\left[k\right]x\left[nk\right]$$

細看。你覺得這很熟悉嗎？您可能將其視為數(shù)字卷積方程（如 第 I 部分中所討論）。

這是什么意思？過濾和卷積一樣嗎？答案是肯定的——前提是我們的脈沖響應函數(shù)與濾波器函數(shù)相同。

即使當我們考慮 IIR（無限脈沖響應）濾波器時，同樣的類比也適用。然而，有一個例外，這次我們需要將輸入信號和過去的輸出信號與它們各自的系數(shù)進行卷積。

簡而言之，卷積構(gòu)成了信號過濾成功的基礎（即使在二維圖像的情況下）。

4.多項式乘法

考慮我們想要將兩個多項式相乘的情況，比方說，(2 x 2 + 3 x – 1) 和 (3 x 3 – 2 x )。用于實現(xiàn)此結(jié)果的工作如下所示

     (2 x 2 + 3 x – 1) × (3 x 3 – 2 x ) = 6 x 5 - 4 x 3 + 9 x 4 - 6 x 2 - 3 x 3 + 2 x

                                                = 6 x 5 + 9 x 4 - 7 x 3 - 6 x 2 + 2 x

等式 1。

現(xiàn)在，讓我們形成兩個數(shù)組，其元素是所提到的多項式的系數(shù)，然后對它們進行卷積。在此示例中，數(shù)組將為數(shù)組 1 = A 1 = {2, 3, -1} 和數(shù)組 2 = A 2 = {3, 0, -2, 0}。

我們將使用乘加技術(shù)對它們進行卷積，如表 1 所示，您可以在  本系列文章的  第 I 部分中了解相關內(nèi)容。

從表中可以看出，他們的卷積結(jié)果是{6, 9, -7, -6, 2, 0}。以多項式形式表示，這等同于等式 1 中所示的內(nèi)容。

表格1。

結(jié)果表表明，當我們將兩個多項式相乘時，我們實際上是從數(shù)學角度對它們的系數(shù)進行卷積。這巧妙地證明了卷積有助于我們執(zhí)行多項式的乘法。

5. 音頻處理

禮堂、電影院和其他類似建筑在很大程度上依賴于混響的概念， 因為它大大提高了聲音的質(zhì)量。

數(shù)字模擬混響的過程在技術(shù)上稱為“卷積混響”。使用卷積混響，您可以將一個區(qū)域的已知脈沖響應與所需聲音的脈沖響應進行卷積，以模擬特定區(qū)域的混響效果。 

通過這樣的模擬，我們可以做一些很酷的事情：我們可以在不親臨現(xiàn)場的情況下計算出禮堂的聲學效果對小提琴演奏的影響。使用這種技術(shù)的另一種方法是合并兩種聲音——比如，歌手的聲音和維納琴的聲音，以產(chǎn)生一種新的聲音。

6. 人工智能

神經(jīng)網(wǎng)絡是人工智能的一個領域，它通過模仿人腦中的連接來設計電路。大腦內(nèi)神經(jīng)元之間的互連被建模為構(gòu)成網(wǎng)絡的多層節(jié)點之間的互連。

圖 4.一個簡單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡

圖 4 顯示了這種簡單形式的人工神經(jīng)網(wǎng)絡 (ANN)。該示例有一個隱藏層，它將輸入節(jié)點路由到輸出節(jié)點。節(jié)點顯示為圓形區(qū)域，而藍線表示互連。

在這樣的網(wǎng)絡中，每個互連都與一個稱為權(quán)重的參數(shù)相關聯(lián)。這些權(quán)重表示特定節(jié)點對特定輸出的影響程度。一些神經(jīng)網(wǎng)絡還包含卷積——它們被稱為卷積神經(jīng)網(wǎng)絡，它們是圖像處理的強大工具。

7. 合成地震儀

地震學是地球物理學的一個分支，主要研究地震和其他彈性波穿過地球甚至其他行星的情況。地震波可以穿過地球的不同層，每一層都有自己的成分和反射率。將所有反射波相加可以得到凈反射波。由此產(chǎn)生的圖表在技術(shù)上被稱為“合成地震圖”。

將特定地球?qū)拥姆瓷湎禂?shù)與輸入信號相乘，然后將所得波相加的行為可以通過卷積運算有效地建模。換句話說，我們可以說地球的反射率系列，可以被認為類似于地球的脈沖響應，可以在與入射地震波卷積時呈現(xiàn)合成地震圖（石油勘探中的地震建模和模式識別） .

8. 光學

當準直光通過其中有狹縫的孔徑時，光會沿著不連續(xù)點發(fā)生衍射。該行為導致在位于無窮遠的平面上形成sinc函數(shù)，這被稱為穿過狹縫的光的衍射圖案。同樣，對于圓形孔徑，由此產(chǎn)生的衍射圖案將是一個草帽函數(shù)（成像光譜儀簡介）。

現(xiàn)在，假設我們有一個光圈，它是這兩種形狀（狹縫和圓形）的組合。我們能否在不實際重復該過程的情況下得出這種復雜結(jié)構(gòu)的衍射圖樣？我們可以。事實上，生成的模式將是通過將 sinc 函數(shù)與 sombrero 的函數(shù)進行卷積而獲得的模式。

這表明，當我們知道每種孔徑的衍射圖案時，可以通過對這些單獨的圖案進行卷積來獲得它們組合的衍射圖案。卷積可以幫助簡化的大多數(shù)線性系統(tǒng)都表現(xiàn)出類似的疊加行為。

9.概率論

讓我們考慮這樣一種情況，我們有兩個獨立的隨機變量 X和Y，它們的概率密度函數(shù) (pdf)分別為f和g。如果我們希望計算它們之和的 pdf（即，如果我們需要X + Y的 pdf ），我們可以使用f和g 的卷積。

繼續(xù)這個邏輯，我們可以計算任意數(shù)量的獨立變量之和的 pdf。這很重要，因為許多標準分布的特點是簡單的卷積模式，這意味著我們可以使用卷積找到它們的 pdf。

10.計算機斷層掃描

層析成像是一種獲取物體特定平面圖的技術(shù)。使從源產(chǎn)生的窄束 X 射線（或任何其他類似的穿透輻射）穿過所需的物體。然后這些射線被通常放置在物體另一側(cè)的探測器收集。

生成的圖像是源光線與物體成分的卷積，揭示了其內(nèi)部結(jié)構(gòu)。但是，生成的圖像質(zhì)量相對較低。

現(xiàn)在考慮一種情況，其中源和檢測器組件沿物體的不同角度位置平移。此行為在同一預期平面上創(chuàng)建對象的多個視圖。接下來，這些視圖將通過 CT 重建算法進行處理，以獲得高質(zhì)量的圖像。

卷積在使用重建算法的這一點出現(xiàn)。兩種廣泛使用的重建算法是 過濾反投影，它利用了卷積。

結(jié)論

本文討論了卷積運算在各個領域的使用，目的是突出其重要性。請隨時在下面的評論中分享卷積的其他用途。