使用正弦波形的電路分析：RL 電路示例
　　在深入討論之前，應該注意的是，正弦波形在解決許多工程和科學問題方面發(fā)揮著關鍵作用。例如，在電路分析中，了解不同頻率下對正弦波形的響應，可以確定對其他類型波形的穩(wěn)態(tài)響應。為了更好地理解這一特性，我們來看看圖 1 所示的簡單 RL （電阻-電感）電路?！　L 電路示例。

　　圖 1. RL 電路示例。
　　假設輸入是正弦電壓，由下式給出：
　　\[v_s = V_{m}cos（\omega t）\]
　　當 t = 0 時，開關閉合，輸入施加到電路。可以證明，流經(jīng)電路的電流由下式給出：
　　\[i=\frac{-V_{m}}{\sqrt{R^2+\omega^{2}L^{2}}}cos（\theta）e^{-（\frac{R}{L}）t}+\frac{V_{m}}{\sqrt{R^2+\omega^{2}L^{2}}}cos（\omega t-\theta）\]
　　其中 θ 是取決于 ω、L 和 R 的參數(shù)，上述方程中的第一項是系統(tǒng)的瞬態(tài)響應。顧名思義，瞬態(tài)響應是暫時的，通常會隨著時間的推移而迅速消失，可能在幾毫秒內消失。如果我們讓開關保持閉合足夠長的時間，我們將只剩下第二項，稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。
　　穩(wěn)態(tài)響應是與輸入頻率相同的正弦波。它的相位和幅度可能與輸入不同，但是，它具有相同的形狀和頻率。雖然我們在上面研究了 RL 電路，但此特性適用于任何其他線性時不變 （LTI） 系統(tǒng)，無論是復雜的放大器還是一段導線。如果電路元件是線性且時不變的，則其對頻率為 ω 的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應是相同頻率的正弦波。其他波形（例如方波）則不是這種情況，其中電路可以改變波形形狀并修改其幅度和相位。
　　對兩個正弦分量之和的穩(wěn)態(tài)響應
　　在上面的示例中，我們觀察到電路將輸入相位改變 -θ，并將輸入幅度乘以系數(shù) H，由下式給出：
　　\[H=\frac{1}{\sqrt{R^{2}+\omega^{2}L^{2}}}\]
　　這意味著，通過有 θ 和 H，我們可以確定任意頻率 ω 下正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應。如果我們同時在 ω 處施加兩個正弦輸入會怎樣1和 ω2?換句話說，電路將如何響應以下輸入：
　　\[v_s = V_{m1}cos（\omega_{1} t） + V_{m2}cos（\omega_{2} t）\]
　　由于假設電路是線性的，因此疊加原理指出，總輸出等于各個輸入元件產生的輸出之和。因此，穩(wěn)態(tài)響應為：
　　\[i=\frac{V_{m1}}{\sqrt{R^2+\omega_{1}^{2}L^{2}}}cos（\omega_{1} t-\theta_{1}） + \frac{V_{m2}}{\sqrt{R^2+\omega_{2}^{2}L^{2}}}cos（\omega_{2} t-\theta_{2}）\]
　　其中 θ1和 θ2是 Ω 處輸入分量所經(jīng)歷的相移1和 ω2分別。因此，如果我們知道不同頻率下正弦分量的響應，我們也可以確定對任意正弦分量之和的響應。
　　對任意波形的穩(wěn)態(tài)響應
　　讓我們更進一步！知道了對不同正弦輸入的響應，我們能否確定對周期性非正弦波形的穩(wěn)態(tài)響應？例如，如果我們輸入圖 2 中描述的方波，我們如何確定電路的穩(wěn)態(tài)響應？　　請注意，圖 2 僅顯示了輸入波形的一個周期;換句話說，假設圖中描繪的部分會隨著時間的推移以周期性的方式重復自身。

　　方波示例。
　　圖 2. 方波示例。
　　這就是傅里葉級數(shù)的突出之處。傅里葉級數(shù)允許我們用正弦波形來描述任意周期波形，例如上面的方波。由于我們知道電路對各個正弦分量的響應，因此我們還可以應用疊加定理來找到對任意波形的響應。
　　正弦函數(shù)和：從正弦波和方波中學習
　　在討論傅里葉級數(shù)方程之前，讓我們嘗試定性地描繪一些正弦函數(shù)的總和如何表示任意波形?？紤]圖 2 中的上述方波。我們能否用單個正弦函數(shù)來近似這個波形？
　　如圖 3 所示，與方波頻率相同（本例中為 1 Hz）的正弦波非常適合方波，并沿 x 軸表現(xiàn)出相同的過零點。暫時，我們不用擔心這個正弦波的幅度是如何選擇的?！　∮脝蝹€正弦波近似方波。

　　圖 3.用單個正弦波近似方波。
　　在上圖中，兩個波形的整體形狀有一些相似之處，但它們仍然有很大的不同。方波在每個半周期保持恒定。但是，正弦波分別在方波的正半周期和負半周期的中點達到其最大值和最小值。與正弦波不同，方波在過渡處的變化更加突然。
　　總體而言，正弦波似乎無法趕上方波的突然變化。在這種情況下，單個正弦波似乎不是方波的可接受近似值。但是，如果我們添加另一個正弦分量呢？通過添加另一個具有適當幅度和頻率的正弦波，我們可能能夠獲得更好的近似值。如圖 4 中的紅色曲線所示，在本例中，這個新的正弦波為 3 Hz?！　∈纠?3 Hz 的正弦波。

　　圖 4. 示例 3 Hz 的正弦波。
　　青色和紅色曲線在方波過渡附近具有相同的極性。因此，當兩個正弦波相加時，會產生一個過渡比單個正弦波更尖銳的波形。然而，對于 0.1667 < t < 0.3333 和 0.6667 < t < 0.8333，兩個正弦波具有相反的極性。隨著更尖銳的過渡和平坦的波峰和波谷，兩個正弦波的和可以產生更準確的表示（圖 5）?！　蓚€正弦波和一個方波的示例波形。

　　圖 5. 兩個正弦波和一個方波的示例波形。
　　這表明，通過添加更多具有適當幅度和頻率的正弦分量，我們可以獲得更好的方波近似。例如，使用 10 個適當選擇的正弦波，我們得到圖 6 所示的波形。　　顯示方波和 10 個正弦波的示例。

　　圖 6. 顯示方波和 10 個正弦波的示例。
　　既然我們知道可以將周期信號表示為正弦分量之和，剩下的問題是，如何計算給定波形的這些正弦分量？
　　了解傅里葉級數(shù)方程 - 求傅里葉級數(shù)表示
　　假設 f（t） 是周期為 T 的周期信號。我們可以用正弦分量的無限和來表示 f（t），如下所示：
　　\[f（t）=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}cos（n\omega_{0}t）+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}sin（n\omega_{0}t）\]
　　方程 1.
　　哪里：
　　一個0一個n和 bn是信號的傅里葉系數(shù)
　　\（\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}\） 表示周期信號的基頻頻率 \（n\omega_{0}\） 被稱為波形的 n 次諧波。系數(shù)可以通過以下公式計算：
　　\[a_0 = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）dt\]
　　方程 2.
　　\[a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）cos（n \omega_0 t）dt\]
　　方程 3.
　　\[b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）sin（n \omega_0 t）dt\]
　　方程 4.
　　請注意，積分可以在波形的任何任意周期內取，這意味著它不一定是 $$-\frac{T}{2}$$ 到 $$+\frac{T}{2}$$ 的區(qū)間。
　　但是，它需要是波形的一個完整周期。在某些情況下，適當?shù)剡x擇積分的起點可以使計算不那么麻煩。
　　例如，讓我們找到圖 7 所示的周期電壓的傅里葉級數(shù)。　　周期性電壓示例。

　　圖 7. 周期性電壓示例。
　　通過應用公式 2，我們得到：
　　\[a_0 = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）dt=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{0}0 \times dt + \frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}} A \times dt=\frac{A}{2}\]
　　接下來，公式 3 得到 an系數(shù)為：
　　\[a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）cos（n \omega_0 t）dt=\frac{2}{T}\int_{0}^{+\frac{T}{2}}Acos（n \omega_0 t）dt = 0\]
　　如果你讀過我本系列的另一篇文章，它是關于傅里葉系數(shù)的對稱性的，上面的結果應該不足為奇。在消除圖 7 中方波的 DC 值后，我們得到了一個具有奇數(shù)對稱性的波形。對于奇數(shù)信號，我們有一個n= 0 表示所有 n。
　　最后，通過應用公式 4，我們得到 bn系數(shù)，如下所示：
　　\[b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f（t）sin（n \omega_0 t）dt=\frac{2}{T}\int_{0}^{+\frac{T}{2}}Asin（n \omega_0 t）dt\]
　　你可以驗證上述積分在偶數(shù) n 時為零。對于 n 的奇數(shù)值，我們得到：
　　\[b_n = \frac{2A}{n \pi}\]
　　因此，將我們的結果代入公式 1，我們可以將該波形的傅里葉級數(shù)寫為：
　　\[f（t）=\frac{A}{2} +\frac{2A}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin（（2n-1）\omega_{0}t）}{2n-1}\]
　　請注意 n 變量是如何調整的，以考慮只有 \（\omega_{0}\） 的奇數(shù)倍的正弦曲線才是非零的。