在本教程中，我們介紹了最基本、最重要的電路定律之一。這些法律由德國(guó)醫(yī)生古斯塔夫·基爾霍夫 (Gustav Kirchoff) 于 1845 年命名并制定。與許多物理定律一樣，基爾霍夫電路定律(KCL) 相對(duì)容易理解，并且是從能量守恒定律的觀察中得出的，這可能是物理學(xué)中最古老和最基本的原理之一。盡管如此，KCL 可能簡(jiǎn)單且易于理解，它們?nèi)匀皇请娐贩治鲋行枰莆盏幕竟ぞ撸⑶抑两袢员粡V泛使用。KCL 由與定義電路能量的物理值相關(guān)的兩個(gè)不同定律組成：電流和電壓。下面我們分別分兩節(jié)介紹基爾霍夫電流定律和電壓定律。在這些部分之前，值得在第一部分中介紹使用 KCL 定律的框架以及與該原則相關(guān)的許多定義。第三部分展示了如何將 KCL 應(yīng)用到實(shí)際電路并解決未知參數(shù)問題的示例。最后，最后一節(jié)簡(jiǎn)要介紹了 KCL 對(duì)于某些特定情況的限制。
　　框架和定義　　應(yīng)用基爾霍夫定律的框架是電路，它由兩個(gè)極與閉環(huán)配置中的組件中間連接的電源或發(fā)電機(jī)組成。電路根據(jù)集總元件模型繪制，該模型假設(shè)元件為理想元件，相關(guān)表示如下圖 1所示：

　　圖 1：電路的集總元件模型
　　我們可以提供一些有關(guān)電路拓?fù)涞木唧w細(xì)節(jié)。直線是電路不同元件之間的理想連接/電線，這意味著它們不呈現(xiàn)電阻或電抗行為，因此不存在功率損耗或相移現(xiàn)象。電源為電路提供電源，電源由電壓和電流信號(hào)（直流或交流）組成。這些元件是無源的，它們由電阻器、電容器和電感器的組合組成。它們可以并聯(lián)連接（如圖1所示），也可以串聯(lián)連接。本教程不考慮放大器等有源組件，因?yàn)樗鼈兣c外部電源相關(guān)。用電線連接兩端的一組元件稱為分支。為了稍后充分理解基爾霍夫定律，兩個(gè)重要的拓?fù)涠x非常重要：節(jié)點(diǎn)和環(huán)。節(jié)點(diǎn)代表分支之間的連接點(diǎn)，它們?cè)趫D 1中用藍(lán)色圓圈突出顯示。上圖中的紅色圓圈箭頭突出顯示了循環(huán)，它表示分支的閉合路徑。
　　基爾霍夫電流定律　　電流定律也稱為節(jié)點(diǎn)定律或結(jié)點(diǎn)定律，規(guī)定在節(jié)點(diǎn)處相遇的電流的代數(shù)和等于零?？梢杂眠B接三個(gè)分支的節(jié)點(diǎn)來說明一個(gè)簡(jiǎn)單的示例：

　　圖2：三個(gè)分支的節(jié)點(diǎn)連接
　　因此，該定律規(guī)定進(jìn)入節(jié)點(diǎn)的電流總和等于離開結(jié)點(diǎn)的電流。在我們的示例中，這句話在數(shù)學(xué)上翻譯為I 1 +I 2 =I 3 或I 1 +I 2 -I 3 =0，當(dāng)前 I 3為負(fù)，因?yàn)樗谕顺龉?jié)點(diǎn)。在一般情況下，N個(gè)分支的節(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)的電流被標(biāo)記為I 1，I 2，…，I N滿足以下方程1：
　　eq 1：基爾霍夫電流定律
　　如果電流 I k 進(jìn)入節(jié)點(diǎn)，則符號(hào)函數(shù)sgn等于+1 ；如果存在，則符號(hào)函數(shù) sgn等于-1 。節(jié)點(diǎn)定律是根據(jù)封閉系統(tǒng)中電荷不變的觀察直接寫出的。這種假設(shè)也稱為電荷守恒定律。 在物理學(xué)中，原理是指沒有經(jīng)驗(yàn)證明無效但尚未被證明的觀察結(jié)果，相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的假設(shè)。
　　基爾霍夫電壓定律　　電壓定律也稱為環(huán)路規(guī)則，它與節(jié)點(diǎn)規(guī)則非常相似，但適用于環(huán)路而不是節(jié)點(diǎn)。第二定律指出電路環(huán)路中電壓的代數(shù)和為零?？梢杂脼榇?lián) RC 濾波器供電的直流電源來說明一個(gè)簡(jiǎn)單的示例：

　　圖 3：具有三種不同電壓的環(huán)路　　電壓的符號(hào)由箭頭的方向決定，通常認(rèn)為源為正，因此順時(shí)針箭頭為正，逆時(shí)針箭頭為負(fù)。因此，基爾霍夫電壓定律指出V S =V R +V C或V S -V R -V C =0。對(duì)于具有 N 次電壓 V 1、V 2、…、V N生成和下降的環(huán)路，滿足等式2 ：

　　eq 2：基爾霍夫電壓定律
　　當(dāng)產(chǎn)生電壓時(shí)（我們示例中的源），符號(hào)函數(shù) sgn 等于+1 ；當(dāng)觀察到電壓降時(shí)，符號(hào)函數(shù) sgn 等于-1 （使用圖 3中的無源組件）。
　　倫敦大學(xué)學(xué)院申請(qǐng)　　在本節(jié)中，我們將展示使用 KCL 可以解決的典型問題的解決過程?？紤]圖 4所示配置中與電阻器 R 1、R 2和 R 3連接的三個(gè)源 S 1、S 2和 S 3：

　　圖 4：電路配置示例　　電源是直流且理想的，這意味著它們不存在內(nèi)阻。我們?nèi) 1 = 4 V，S 2 = 3 V，S 3 = 10 V，并且R 1 = 3 Ω，R 2 = 2 Ω，R 3 = 1 Ω。根據(jù)基爾霍夫現(xiàn)行定律，我們可以為節(jié)點(diǎn) 1 和 2 寫出以下等式：節(jié)點(diǎn)1： I 1 =I 2 +I 3節(jié)點(diǎn)2： I 2 +I 3 =I 1與節(jié)點(diǎn)1的方程類似根據(jù)基爾霍夫電壓定律，我們寫出循環(huán) 1 和循環(huán) 2 的等式：循環(huán)1： S 1 =S 2 +R 2 ×I 2 +R 1 ×I 1循環(huán)2： S 2 +R 2 ×I 2 =S 3 +R 3 ×I 3我們可以以不同的方式編寫這些方程，以獲得以下具有 3 個(gè)未知參數(shù) I 1、I 2和 I 3 的3 個(gè)方程組：

　　eq 3：KCL 線性方程組
　　該方程組可以用消除法求解，即在第二行（L2）中將 I 1替換為 I 2 +I 3 ，并通過加法 R 3 ×L2+R 1 ×L3消除項(xiàng) I 3 。我們直接找到I 2 =4.2 A，然后我們可以通過替換 L3 中的 I 2來找到 I 3，得到I 3 =1.4 A，最后我們得到I 1 =I 2 +I 3 =5.6 A。
　　KCL 的局限性
　　在第一部分中，我們已經(jīng)了解了 KCL 應(yīng)用的框架，但電路還必須遵守一些其他更微妙的條件。我們?cè)诒竟?jié)中簡(jiǎn)要強(qiáng)調(diào)了 KCL 有效的進(jìn)一步條件。第一個(gè)條件稱為準(zhǔn)靜態(tài)近似，即信號(hào)的傳播時(shí)間與信號(hào)的周期相比必須可以忽略不計(jì)，這給出了電路尺寸的條件。例如，考慮200 kHz (T=5 μs) 的交流信號(hào)，如果接收器位于電路中D=10 cm處，則傳播時(shí)間將為 Δt=D/c=0.33 ns，其中 c 為速度光。在這種情況下，Δt<<T，準(zhǔn)靜態(tài)近似有效并且遵守應(yīng)用 KCL 的條件。然而，如果接收器位于D=1 km處，則傳播時(shí)間變?yōu)?Δt=3.3 μs，并且不遵守不等式 Δt<<T，因此近似無效，并且 KCL 無法應(yīng)用于電路。 在準(zhǔn)靜態(tài)近似中，源的任何變化都被認(rèn)為會(huì)立即傳播到電路中的任何點(diǎn)，從而避免了可能使 KCL 失效的延遲效應(yīng)。這個(gè)肯定可以用麥克斯韋-安培方程來證明，其中當(dāng)準(zhǔn)靜態(tài)近似有效時(shí)可以消除變分項(xiàng)，然后可以用格林-奧斯特羅格拉茨基定理來證明基爾霍夫電流定律。賦予 KCL 有效性的另一個(gè)常見條件是電路回路上的磁通量的變化必須可以忽略不計(jì)。根據(jù)感應(yīng)定律，磁通量的變化會(huì)在電路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而產(chǎn)生感應(yīng)電壓。 磁通的變化引入了一個(gè)新的電壓項(xiàng)，該電壓項(xiàng)不是由元件或電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)解釋的，而是來自外部源，從而使環(huán)路規(guī)則失效。
　　結(jié)論
　　KCL 是電子學(xué)的基本定律，可應(yīng)用于由環(huán)路和節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的電路。這些拓?fù)涠x以及其他拓?fù)涠x在本文的第一部分中介紹，該部分提供了應(yīng)用 KCL 的框架。基爾霍夫定律由電流定律和電壓定律組成，反映了電路中能量守恒定律。電流定律解釋了電荷守恒，它指出節(jié)點(diǎn)中電流的代數(shù)和等于零。電壓定律規(guī)定環(huán)路中電壓的代數(shù)和為零。進(jìn)一步的章節(jié)介紹了使用這兩個(gè)定律可以通過求解線性方程組來解決典型的電子問題。最后，我們?cè)谧詈笠还?jié)中簡(jiǎn)要介紹了為了使 KCL 有效，必須考慮有關(guān)電路尺寸和外部磁通量存在的一些微妙條件。