電阻器 (R)、電感器 (L) 和電容器 (C) 是電子器件中的三個(gè)基本無源元件。它們的屬性和行為已在交流電阻、交流電感和交流電容教程中詳細(xì)介紹。在本文中，我們將重點(diǎn)討論這三個(gè)組件的串聯(lián)組合，稱為串聯(lián) RLC 電路。首先，演示部分總結(jié)了三個(gè)組成組件的交流行為，并簡要介紹了 RLC 電路。

　　串聯(lián)RLC電路
　　在第二部分中，我們討論該電路在直流電壓階躍下的電氣行為，并強(qiáng)調(diào)為什么這種特定響應(yīng)很重要。接下來，我們?cè)诘谌糠种型ㄟ^計(jì)算和繪制 RLC 電路的傳遞函數(shù)來重點(diǎn)關(guān)注 RLC 電路的交流響應(yīng)。最后，我們通過在彼此之間切換組件來提出 RLC 電路的兩種替代方案，我們看到交流響應(yīng)變得完全不同。
　　推介會(huì)　　下面的圖 1給出了 RLC 電路的表示：

　　圖 1：串聯(lián) RLC 電路圖解
　　該電阻器是純電阻元件，其兩端的電壓和電流之間不存在相移。其阻抗 (Z R ) 在直流和交流狀態(tài)下保持相同，等于 R（以 Ω 為單位）。電感器是純電抗元件，相移為+90° 或 +π/2 rad。其阻抗由Z L =jωL給出，其中 ω 是交流情況下電壓/電流的角脈動(dòng)，L 是電感（以 H 為單位）。在直流狀態(tài)下，電感器表現(xiàn)為兩個(gè)端子之間的短路，而在交流狀態(tài)下，當(dāng)阻抗隨頻率增加時(shí)，電感器會(huì)變成開路。 電感器通常被視為抵抗電流變化的組件。電容器也是純電抗元件，但其相移為-90°或-π/2 rad。其阻抗由Z C =-j/Cω給出，其中 C 為電容（以 F 為單位），因此當(dāng)頻率增加時(shí)，它在直流狀態(tài)下表現(xiàn)為開路，在交流狀態(tài)下表現(xiàn)為短路。 電容器通常被視為抵抗電壓變化的組件。在圖1中，這三個(gè)組件串聯(lián)互連。該電路由直流或交流電源供電，輸出是電容器兩端的電壓。電路的總阻抗是前面所述的獨(dú)立阻抗的總和：Z RLC =Z R +Z L +Z C =R+j(Lω-(1/Cω))在下一節(jié)中，我們將介紹該電路對(duì)電壓階躍的響應(yīng)，也稱為瞬態(tài)響應(yīng)。
　　瞬態(tài)響應(yīng)　　在本節(jié)中，我們將重點(diǎn)關(guān)注圖 1中所示電路在應(yīng)用 Heaviside 步驟 H(t) 時(shí)的行為：

　　圖 2：赫維賽德函數(shù)圖示　　Heaviside 步驟的特征是，當(dāng) t<0 時(shí)等于 0，當(dāng) t>0 時(shí)等于V in 。這兩種狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換類似于脈沖，因?yàn)楫?dāng) t=0 時(shí)導(dǎo)數(shù)趨向于 +∞。通過對(duì)電路進(jìn)行網(wǎng)格分析，我們可以寫出V in =R×I+L×dI/dt+V out。此外，我們知道電流可以改寫為 I=C×dV out /dt，從而得到以下二階微分方程：

　　eq 1：串聯(lián)RLC電路的二階微分方程　　該方程的解是永久響應(yīng) （時(shí)間恒定）和瞬態(tài)響應(yīng)V out,tr（時(shí)間變化）之和。永久響應(yīng)很容易且顯而易見，解 V out =V in確實(shí)是方程 1的永久解。瞬態(tài)響應(yīng)的確定很復(fù)雜，涉及許多步驟，本文將不詳細(xì)介紹。我們承認(rèn)它的表達(dá)式可以采用三種不同的形式，并且取決于稱為電路品質(zhì)因數(shù)的Q=(1/R)√(L/C)的值。另一個(gè)重要參數(shù)是ω 0 =1/√(LC)，它是電路的基本脈動(dòng)。當(dāng) Q>1/2 時(shí)，該狀態(tài)被稱為偽周期或欠阻尼響應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)可以寫成V out,tr =Ae -αt cos(ωt+Φ) 的形式。常數(shù) A、α 和 Φ 可以通過考慮電路的初始條件（電容器是否充電……）來找到。脈動(dòng)ω被稱為偽脈動(dòng)并且取決于基本脈動(dòng)ω 0。當(dāng) Q<1/2 時(shí)，該狀態(tài)被稱為非周期性或過阻尼響應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)的形式為V out,tr =e -αt (A 1 e -ωt +A 2 e ωt )。最后，Q=1/2 時(shí)的最后一種情況，對(duì)應(yīng)于臨界狀態(tài)或臨界阻尼響應(yīng)。在這種情況下，V out,tr =(A+Bt)e -ω 0 t。需要記住的重要一點(diǎn)是，這些不同的解決方案決定了電壓 V out的行為方式，以及在對(duì)其應(yīng)用 Heaviside 步驟時(shí)趨向于其永久值 V in 的情況：

　　圖 3：不同瞬態(tài)響應(yīng)狀態(tài)的曲線
　　我們可以通過開始說隨著時(shí)間的增加每條曲線都趨于 0 來評(píng)論這個(gè)數(shù)字。這是有道理的，因?yàn)槲覀冎?V out =V in +V out,tr且 V out (t→+∞)=V in，因此，V out,tr →0。然而，不同的可能瞬態(tài)響應(yīng)在相同的速度和行為下不會(huì)趨于 0。臨界狀態(tài)是最快趨于 0 的狀態(tài)，而非周期狀態(tài)最慢。偽周期狀態(tài)呈現(xiàn)振幅呈指數(shù)下降的振蕩。 對(duì)于未知的 RLC 電路，識(shí)別瞬態(tài)響應(yīng)并將其與最佳可能曲線相匹配可以為我們提供電路的重要屬性，例如ω 0 和Q。
　　交流響應(yīng)　　在本節(jié)中，我們考慮圖 1中所示的相同電路，現(xiàn)在提供交流電源。利用復(fù)數(shù)表示中 dX/dt=jωX 的性質(zhì)，其中 ω 是源的角脈動(dòng)，我們可以將方程 1重寫為以下形式：

　　eq 2：串聯(lián) RLC 電路的復(fù)二階微分方程　　然后我們可以表達(dá)比率 V out /V ，其中是串聯(lián) RLC 電路的傳遞函數(shù) T ：

　　eq 3：串聯(lián) RLC 電路的傳遞函數(shù)　　知道Q=(1/R)√(L/C)、ω 0 =1/√(LC)并考慮稱為減少脈動(dòng)的參數(shù)x=ω/ω 0，我們可以重新排列方程 3以寫出規(guī)范形式傳遞函數(shù)的簡化使表達(dá)式更加緊湊：

　　eq 4：RLC 電路傳遞函數(shù)的規(guī)范形式　　繪制傳遞函數(shù)的范數(shù)以獲得作為參數(shù) x 的函數(shù)的電路增益是很有趣的。本例中取值 R=10 Ω 和 20 Ω、L=0.2 H 和 C=100 μF：

　　圖 4：串聯(lián) RLC 電路的增益
　　我們可以注意到，圖 1中的串聯(lián) RLC 電路在交流狀態(tài)下充當(dāng)二階低通濾波器，因?yàn)樗鼤?huì)降低高于 ω 0 的脈動(dòng)的輸出信號(hào)，ω 0 通常稱為電路的諧振頻率。 二階濾波器具有稍微放大 ω 0附近頻率的信號(hào)的特性，并在截止頻率之后呈現(xiàn) -40 dB/dec 的降低，而不是像一階濾波器那樣僅 -20 dB/dec。圖 4中突出顯示了Q 值（取決于 R）對(duì)曲線形狀的影響。諧振頻率附近的峰值實(shí)際上由其帶寬Δω=ω 0 /Q來表征。在此示例中，ω 0 =223 rad/s 且 Q=4.5 或 2.25，這為橙色曲線提供了較窄的帶寬Δω=50 rad/s ，為藍(lán)色曲線提供了100 rad/s的較寬帶寬。因此，我們可以注意到，品質(zhì)因數(shù)決定了諧振是窄（大 Q）還是寬（小 Q）。如上一節(jié)所述，用最佳曲線擬合未知電路的傳遞函數(shù)使我們能夠了解電路的屬性，從而確定其組成元件的值。
　　RCL 和 CLR 配置　　基本元件R、L和C的其他組合可以提供不同類型的濾波器。我們之前已經(jīng)看到，RLC 配置是二階低通濾波器，但是如果我們?cè)谒鼈冎g切換一些組件會(huì)怎么樣？圖 5 和圖 6展示了兩種新配置，分別稱為 RCL 和 CLR 電路：

　　圖 5：RCL 電路示意圖

　　圖 6：CLR 電路示意圖　　盡管這些電路與圖 1所示的原始 RLC 電路之間存在微小變化，但交流響應(yīng)卻有很大不同。確實(shí)可以證明，這兩個(gè)電路的傳遞函數(shù)由等式 4 和 5給出：

　　eq 5：RCL電路傳遞函數(shù)

　　eq 6：CLR 電路傳遞函數(shù)　　這些新濾波器的性質(zhì)通過繪制具有相同值的傳遞函數(shù)范數(shù)來揭示：R=10 Ω 和 20 Ω、L=0.2 H 和 C=100 μF。

　　圖 7：串聯(lián) RCL 和 CLR 電路的增益
　　電路RCL 是二階高通濾波器，因?yàn)樗p ω 0以下的頻率。電路C LR 是帶通濾波器，因?yàn)樗鼉H放大ω 0附近的頻率。請(qǐng)注意，與上一節(jié)中關(guān)于曲線形狀作為 Q 的函數(shù)的相同評(píng)論仍然適用于這兩個(gè)濾波器。
　　結(jié)論
　　串聯(lián) RLC 電路只是三個(gè)電子元件的串聯(lián)組合：電阻器、電感器和電容器。電阻器的阻抗是實(shí)數(shù)，電感器和電容器的阻抗是純虛數(shù)，電路的總阻抗是這三個(gè)阻抗的總和，因此是一個(gè)復(fù)數(shù)。電路的瞬態(tài)響應(yīng)首先在第二部分中定義和介紹。它包括研究提供海維賽電壓階躍時(shí)電路的行為。通過研究與電路相關(guān)的二階微分方程的可能解，出現(xiàn)了三種可能的情況：
　　欠阻尼響應(yīng)，其中信號(hào)緩慢振蕩至永久值 V in。
　　信號(hào)緩慢增加至永久值的過阻尼響應(yīng)。
　　臨界阻尼響應(yīng)是信號(hào)以最快的速度增加到永久值的情況。
　　第三部分介紹了電路的交流響應(yīng)。當(dāng)提供交流信號(hào)時(shí)，微分方程可以寫成復(fù)數(shù)形式，以便找到電路的傳遞函數(shù)。繪制該函數(shù)的范數(shù)表明串聯(lián) RLC 電路的行為類似于二階低通濾波器。在最后一節(jié)中，我們研究了稱為 RCL 和 CLR 的替代配置。本節(jié)展示了通過簡單地切換組件就可以用同一電路制作二階高通濾波器或帶通濾波器。