頻率對電路阻抗的影響
　　圖 1(a) 所示的串聯(lián) RLC 電路的阻抗為
　　Z=R+j(XLXC)(1)　　或者　Z=√R2+X2∠tan?1(XR)　

 　由于 X L =2πfL 且 X C =1/(2πfC)，因此電路的實際阻抗取決于交流電源的頻率，如圖 1(b) 所示。圖 2 顯示了 jX L 和 -jX C值與電源頻率的關(guān)系圖?？梢钥闯?，由于 X L 與頻率成正比，因此感抗 會隨著頻率的增加從零開始線性增加。但是，容抗與頻率成反比，在低頻時，X C 無窮大。隨著頻率的增加，X C從無窮大迅速減小，但永遠(yuǎn)不會變?yōu)榱?。如圖所示，得到的 (-jX C ) 與頻率 的關(guān)系圖是曲線。

　?。╝）帶有可變頻率源的串聯(lián) RLC 電路。

　　（b）X L 和 X C 隨電壓源的頻率而變化?！　D 1. 在具有可變頻率源的串聯(lián) RLC 電路中，X L在特定頻率（稱為諧振頻率）下 等于 X C。 電路阻抗等于 R。圖片由 Amna Ahmad 提供

　　圖 2.串聯(lián) RLC 電路的+jX L 和 -jX C與頻率的 關(guān)系圖表明，在特定頻率 (f r ) 下，X L = X C，因此 (X L = X C ) = 0。頻率 f r 稱為電路的諧振頻率。圖片由 Amna Ahmad 友情提供
　　串聯(lián) RLC 電路的總電抗為 (X L - X C )，該量的圖形如圖 2 中的虛線所示。在低頻下，很明顯 X L比 X C 小得多，因此總電抗主要是電容性的。在較高頻率下，X L比 X C 大得多，總電抗主要是電感性的。在 圖上標(biāo)記為 f r 的一個頻率下，X L 和 X C在數(shù)值上相等。因此，串聯(lián) RLC 電路在 f r 處的阻抗 變?yōu)?br>　　Z=R+j(XL?XC)=R+j(0)
　　或者
　　Z=R
　　當(dāng)發(fā)生這種情況時，電路就處于電諧振狀態(tài)，X L 等于X C的頻率 稱為諧振頻率（f r）。
　　串聯(lián) RLC 電路的諧振頻率定義為 X L =X C時的頻率。
　　再次參考圖 2，可以看出，在高于和低于諧振頻率的頻率下，電抗 (X = X L - X C ) 具有較大的值，該值要么是電感性的，要么是電容性的。因此，當(dāng)繪制電路阻抗 (公式 1) 與頻率的關(guān)系圖時，會發(fā)現(xiàn)阻抗在高于和低于諧振頻率時具有較高的值，而在諧振時，阻抗會下降到其最小值 Z = R [見圖 3(a)]。
　　串聯(lián) RLC 電路在諧振頻率處具有最小阻抗。
　　諧振電流　　串聯(lián) RLC 電路中的電流由以下公式確定　I=ER+j(XL?XC)(2)　　

   或者

　|I|=E√R2+(XL?XC)2
　　其中 I 是電流的數(shù)值，與相位角無關(guān)。因此，在諧振時，當(dāng) X L =X C時，電流方程變?yōu)椤=ER
　　圖 3(b) 顯示了串聯(lián) RLC 電路的典型電流與頻率圖。電流在高于和低于諧振頻率時最小，但在諧振時隨著阻抗降至最小而急劇上升。電流/頻率圖有時被稱為電路的頻率響應(yīng)曲線。
　　相位角　　從圖 2 可以看出，串聯(lián) RLC 電路的阻抗在遠(yuǎn)低于諧振頻率的頻率下主要是電容性的。這意味著電路電流比施加的電壓超前約 90° 的相位角。相反，由于阻抗在遠(yuǎn)高于諧振頻率的頻率下主要是電感性的，因此高于諧振頻率的電流的相位角約為 -90°。串聯(lián) RLC 電路的相位角與頻率的關(guān)系圖（如圖 3(c) 所示）顯示在低頻下超前 90° 的相位角，在諧振頻率下變?yōu)?0°，在 f r以上變?yōu)闇?90° 的相位角。

　?。╝）阻抗與頻率的關(guān)系圖

　?。╞）電流與頻率的關(guān)系圖

　?。╟）電流相位角與頻率的關(guān)系圖
　　圖 3. 串聯(lián) RLC 電路的阻抗、電流和相位角與頻率的關(guān)系圖。由于 Z=R+j(X L -X C )，阻抗在 f r 處下降到 R，電流達(dá)到峰值。電流相位角在 f r處為零，在 f r以下超前，在 f r 以上滯后。圖片由 Amna Ahmad 友情提供
　　共振頻率
　　發(fā)生共振的頻率可以通過將 X L和 X C相等來輕松計算：
　　

XL=2πfrL

XC=12πfrC

　　所以

   2πfrL=12πfrC

　　給予
r=12π√LC(3)　　

  當(dāng) L 和 C 分別以亨利和法拉為單位時，公式 2 得出以赫茲為單位的 f r  。

　　示例 1
　　確定圖 4 中串聯(lián) RLC 電路的諧振頻率。同時計算 0.25f r、0.5f r、0.8f r、f r、1.25f r、2f r和 4f r處的電路電流。繪制以對數(shù)為底的電流與頻率的關(guān)系圖。
　　解決方案　　等式 3fr=12π√LC=12π√85μH×298pF=1MHz　

  　等式 2

　　|I|=E√R2+(XL?XC)2

　　圖 4. 示例 1 的電路。圖片由 Amna Ahmad 提供
　　圖 5 中的電流與頻率圖清楚地表明，電流在諧振頻率處上升到最大值，而在諧振頻率以上和以下的頻率處急劇下降。從表中可以看出，當(dāng)頻率從 250 kHz 加倍到 500 kHz 時，電流從 5 mA 增加到 12.4 mA。還要注意，在諧振頻率以上，當(dāng)頻率從 2 MHz 加倍到 4 MHz 時，電流從 12.4 mA 降至 5 mA。對于諧振頻率以上和以下的其他頻率變化，同樣類型的相應(yīng)電流比是顯而易見的?？梢钥闯觯娏髋c頻率的比率是對數(shù)的，因此圖表上使用對數(shù)頻率刻度。
　　圖 5. 串聯(lián) RLC 電路的電流與頻率（以對數(shù)為底）的關(guān)系圖。電流在諧振頻率處急劇上升。圖片由 Amna Ahmad 提供
　　諧振電壓上升
　　串聯(lián) RLC 電路中電阻兩端的電壓為 V R =IR，諧振時 V R 等于電源電壓（見圖 6(a)）。如圖所示，電容和電感電壓為：
　　VC=IXC(4)
　　和
　　VL=IXL(5)
　　當(dāng)計算出不同頻率下的電容電壓和電感電壓并繪制成對數(shù)頻率刻度時，會發(fā)現(xiàn) V C 和 V L 頻率響應(yīng)曲線的形狀與電路電流與頻率的關(guān)系圖相似。還發(fā)現(xiàn)
　　諧振時的V L 和 V C 可以比電源電壓高幾倍。
　　這種效應(yīng)稱為共振電壓上升。
　　圖 6(b) 表明，諧振時 V L和 V C的波形 相位相反。因此，V L 和 V C的瞬時電平 相互抵消，所有電源電壓都出現(xiàn)在 R 上。
　?。╝）諧振時的電路和電壓
　　（b）電感和電容電壓波形
　　圖 6. 在串聯(lián) RLC 電路中，諧振頻率 V R =E，V L和 V C 大于 E。V L 和 V C 相位相反。圖片由 Amna Ahmad 提供
　　示例 2
　　對于圖 6 中的串聯(lián) RLC 電路（與示例 1 相同），確定每個頻率下的電容和電感電壓。此外，繪制 V R、 V C和 V L 與頻率的關(guān)系圖。
　　解決方案
　　VC=IXC且VL=IXL且VR=IR
　　將每個頻率的數(shù)量列出，并在圖 7 中繪制了圖表。從圖中可以看出，在諧振頻率以下，V C >V L  ；在諧振頻率以上，V L >V C  。
　　示例 2 表明，在諧振時，電容器和電感器兩端的電壓遠(yuǎn)大于電源電壓。電阻兩端的電壓 (V R ) 當(dāng)然與電路電流同相，而 V L 超前電流 90°，V C 滯后電流 90°。圖 8(a) 中的相量圖說明了這一點。從相量圖中可以清楚地看出，V L 和 V C 在諧振時相互抵消，電源電壓施加在電阻兩端。

　　圖 7.串聯(lián) RLC 電路的 電容電壓 V C、電感電壓 V L和電阻電壓 V R與頻率（以對數(shù)為底）的關(guān)系圖。在諧振頻率下，V C 和 V L 變得遠(yuǎn)大于電源電壓。圖片由 Amna Ahmad 提供

　?。╝）諧振時串聯(lián) RLC 電路的相量圖。

　?。╞） 諧振時V L、 V C 和 V R的波形。
　　圖 8. 諧振時串聯(lián) RLC 電路的電壓相量圖和波形。V C 和 V L 相互抵消，V R等于電源電壓，電流與電源電壓同相。圖片由 Amna Ahmad 友情提供
　　L和C之間的能量轉(zhuǎn)移
　　圖 8(b) 顯示了諧振頻率下的 V L、 V R和 V C的波形 。顯然，隨著 V L 正向增長，V C 負(fù)向增長，反之亦然。V L的正峰值與 V C 的負(fù)峰值同時出現(xiàn)，而 V C的正峰值 在時間上與 V L的負(fù)峰值相對應(yīng)。另外，請注意，電阻兩端的正電壓峰值和負(fù)電壓峰值與 V L 和 V C 為零的時刻相吻合。從這些波形中得出的信息是，能量存儲在諧振電路中。能量以諧振頻率連續(xù)地從電感器傳輸?shù)诫娙萜鞑⒃俅蝹鬏敾?。對于所涉及的電容器和電感器的特定值，諧振頻率是這種能量傳輸可以發(fā)生的唯一頻率。但請注意，只有當(dāng)有諧振頻率的能量輸入時，無功元件之間的能量存儲和能量傳輸才會發(fā)生。
　　確定共振頻率的要點
　　當(dāng)串聯(lián) RLC 電路的交流電源電壓頻率發(fā)生變化時，在特定頻率下 X L  = X C。 兩個電抗抵消，結(jié)果是電路的串聯(lián)阻抗具有最小值 Z=R。電路處于諧振狀態(tài)。發(fā)生這種情況的頻率是諧振頻率。由于阻抗最小，串聯(lián)電流最大，并且 L 和 C 之間產(chǎn)生的電壓上升。